Пусть – некоторая дифференцируемая функция, производная от которой также является дифференцируемой функцией. Производная функции обозначается символическим выражением и называется второй производной (или производной второго порядка) функции :

Запись вида

позволяет указать в явной форме переменную, по которой выполняется дифференцирование функции. Однако такое обозначение является достаточно громоздким и поэтому обычно используется его сокращенная форма:

Эта формула читается как “игрек два штриха равен дэ два игрек по дэ икс дважды”.

Производной n-го порядка от функции называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Верхний индекс n, заключенный в круглые скобки, указывает порядок производной. Например, пятую производную от функции y записывают в виде . Для обозначения производных до третьего порядка включительно обычно предпочитают использовать штрихи: или . Если порядок производной , то для его обозначения допускается использование римских цифр, например,

Отметим также, что под производной нулевого порядка от функции понимается сама функция :

Другими словами, нулевое число преобразований функции означает ее неизменность. Более весомые причины такого соглашения обсуждаются в разделе “Формула Лейбница”.

Если функция задана уравнениями в параметрической форме,

то для вычисления ее производных высших порядков используется цепочка формул

и так далее. Пусть, например,

Тогда

Для нахождения производной n-го порядка неявно заданной функции требуется последовательное вычисление всех ее производных более низкого порядка. Для примера рассмотрим уравнение

определяющее неявно заданную функцию y(x).
Дважды дифференцируя это равенство, получим систему двух уравнений

Если из первого уравнения выразить производную y' и подставить полученный результат во второе уравнение, то останется лишь разрешить преобразованное второе уравнение относительно y''.

Примеры:

Пусть . Тогда

Получить общую формулу для производной n-го порядка от функции
Решение.

Отметим, что полученная формула для производной n-го порядка оказывается справедливой и при n = 0:

Вывести общую формулу для производной n-го порядка от функции
Решение.

При n = 0 эта формула дает правильное выражение для функции y.

Вывести общую формулу для производной n-го порядка от функции
Решение.

Заметим, что полученная формула применима только при и, следовательно,

Вывести общую формулу для производной n-го порядка от функции
Решение. Представим предварительно эту функцию в виде алгебраической суммы простых дробей:

Используя формулу, полученную в примере 3, находим

Вывести общую формулу для производной n-го порядка от функции и вычислить эту производную в точке x = 0. Решение.

При каждом дифференцировании происходит сдвиг аргумента синуса на и, следовательно,

Очевидно, что