Логарифмическое дифференцирование

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.2 Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости изменения функции

Геометрическая интерпретация производной функции

Правила дифференцирования функций

Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Производные тригонометрических функций

Гиперболические функции и их свойства

Дифференцирование гиперболических функций

Дифференциал функции

Геометрическая иллюстрация дифференциала

Свойства дифференциалов

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Дифференцирование сложной функции

Дифференцирование обратной функции

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование параметрически заданных функций

Дифференцирование неявно заданных функций

Таблица производных элементарных функций

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Лейбница

Страницы: 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10  | 11  | 12  | 13  | 14  | 15  | 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | 21  

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим проблему дифференцирования функций вида  , где    и    – некоторые дифференцируемые функции. Используя логарифмические тождества

получим

      Таким образом, проблема нахождения производных от функций вида    сводится к процедуре дифференцирования произведения функций. К такому же результату приводит логарифмическое дифференцирование функции  , под которым понимается предварительное логарифмирование функции и последующее дифференцирование полученного выражения:

(1)

      Правило дифференцирования (1) представляет собой композицию правил дифференцирования показательной и степенной функций. Действительно, запишем формулу (1) в виде

Первый член в правой части этого равенства представляет собой производную от показательной функции  , где основание  u  формально рассматривается как константа. Второе слагаемое можно интерпретировать как результат дифференцирования степенной функции  , если формально считать, что  .

      Логарифмическое дифференцирование существенно упрощает процедуру вычисления производных от выражений вида

Действительно,

Примеры:

Страницы: 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10  | 11  | 12  | 13  | 14  | 15  | 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | 21