Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.2 Дифференцирование функций

Средняя и мгновенная скорости изменения функции

Геометрическая интерпретация производной функции

Правила дифференцирования функций

Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Производные тригонометрических функций

Гиперболические функции и их свойства

Дифференцирование гиперболических функций

Дифференциал функции

Геометрическая иллюстрация дифференциала

Свойства дифференциалов

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Дифференцирование сложной функции

Дифференцирование обратной функции

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование параметрически заданных функций

Дифференцирование неявно заданных функций

Таблица производных элементарных функций

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Лейбница

Страницы: 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10  | 11  | 12  | 13  | 14  | 15  | 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | 21  

Производные степенной, показательной и логарифмической функций

Пусть  n  – произвольное вещественное число. Тогда

      Используя соотношение эквивалентности

получим, что

      Пусть    и  . Тогда

      Используя соотношение эквивалентности

получим правило дифференцирования показательной функции:

      Эта формула принимает особенно простой вид, если основанием является число  e:

      Функция   является уникальной, ибо это единственная функция, производная от которой совпадает с самой функцией.

      Покажем, что для любого  x > 0  выполняется следующее правило дифференцирования логарифмической функции:

      Действительно, приращение этой функции можно представить в виде

Если  ∆x → 0, то бесконечно малая в правой части этого равенства удовлетворяет соотношению эквивалентности

и, следовательно,

Страницы: 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  | 10  | 11  | 12  | 13  | 14  | 15  | 16  | 17  | 18  | 19  | 20  | 21