Существуют различные характеристики, позволяющие детально описывать поведение функции в окрестности заданной точки. Одной из таких характеристик является средняя скорость изменения функции на промежутке , которая представляет собой отношение изменения функции к соответствующему изменению аргумента :

(1)

Термины "изменение аргумента" и "изменение функции" порождают ассоциацию с неким динамическим процессом, в котором аргумент играет роль времени, а функция этого аргумента характеризует пройденный путь или скорость движения частицы. Перечень подобных толкований можно продолжить, подразумевая под изменением функции, например, изменение масса тела, заключенной в сфере малого радиуса, при смещении центра сферы из одной точки в другую и так далее. Поэтому математики отдают предпочтение нейтральным терминам, называя разность приращением функции, а величину ∆x – приращением аргумента.

Пусть, например, . Тогда средняя скорость изменения функции на промежутке [1, 3] равна

      Физическая интерпретация средней скорости изменения функции вполне очевидна. Если    описывает зависимость пройденного частицей пути от времени x ее движения, то    представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени ∆x.

      Мгновенная скорость изменения функции представляет собой среднюю скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке ∆x. Чем меньше ∆x, тем ближе средняя скорость к мгновенной скорости. Термин “мгновенная скорость изменения функции” выражает суть обсуждаемого понятия, однако обычно мгновенную скорость называют производной функции    и обозначают символическим выражением .
      Таким образом, производная функции    представляет собой предел отношения приращения функции    к приращению аргумента    при стремлении последнего к нулю:

(2)

(Выражение в левой части этого равенства читается как “дэ эф по дэ икс”.) Производная функции    обозначается также символом , который читается как “эф штрих от икс”.

      Функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Говорят, что функция дифференцируема на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

      Производную функции можно найти численно, графически или вычислить с помощью алгебраических формул. Для численного нахождения    в точке x используется приближенная формула

(3)

Проиллюстрируем диапазон применимости этой формулы численными расчетами. Пусть, например, . Результаты вычислений производной функции в точке x = 1 при различных значениях ∆x представлены в таблице 1.

Таблица 1.

∆x	1	0.1	0.01	0/001	0.000001
	6	5.1	5.01	5.001	5.000001

Очевидно, что последовательность значений приближается к числу 5 по мере уменьшения ∆x. Поэтому можно предположить, что точное значение равно пяти. Именно таким и является точное значение.

Для оценки “на лету” достаточно выбрать одно малое значение ∆x и вычислить разностное отношение (3). Более точную оценку дает сбалансированное отношение