Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Другие важные пределы: Теорема 5

Теорема 5:

Эквивалентная формулировка теоремы 5:

Частный случай теоремы 5:

 

Доказательство. Используя подстановку  , получим

Тогда

Если  x → 0, то и переменная  t  стремится к нулю. При этом

Таким образом,

Если    – бесконечно малая функция при  x → a, то

 

Например, при  x → 0

 

 
Рис 6. Графическая иллюстрация теоремы 5 в частном случае  n = 3. 

 
Рис 7. Графическая иллюстрация теоремы 5 в частном случае  n = 1/2.

---

 Примеры:

 

1. Типичные преобразования, основанные на теореме 5:

Вычислить предел Решение. Заменим бесконечно малые функции в числителе и знаменателе дроби эквивалентными величинами: Тогда

Вычислить предел Решение. Как и в предыдущем примере заменим бесконечно малые функции в числителе и знаменателе дроби эквивалентными величинами:

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13