Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Первый замечательный предел

Теорема 1:

Другая формулировка теоремы 1:

Доказательство. Заметим, что отношение    представляет собой четную функцию. Поэтому при анализе поведения этой функции можно ограничиться областью малых положительных значений аргумента  x. 
      Пусть  x  – центральный угол окружности единичного радиуса, выраженный в радианах. Сравним между собой площади фигур, показанных на рисунке 1.

 
Рис.1. Равнобедренный треугольник AOB, круговой сектор AOB и прямоугольный треугольник AOC.

      Очевидно, что для всех    выполняется неравенство

      Представим  tg x  в виде отношения  sin x  к  cos x  и разделим обе части этого двойного неравенства на  sin x. Тогда неравенство

влечет за собой

      Поскольку    при  x → 0, то и  . 

      Графические иллюстрации теоремы 1 представлены на рисунках 2 и 3.

 
 

Рис. 2. Прямая  y = x  является касательной к графику функции    в точке  x = 0. Поэтому  sin x ≈ x  в окрестности нуля. 

 
 

Рис. 3. График функции  .

      Теорема 1 допускает следующее очевидное обобщение: если   – бесконечно малая величина при  x → a, то

 

      В частности,

 

---

Примеры:

Учитывая, что    и    при  x → 0, получим

Докажем соотношение эквивалентности Действительно,

Покажем, что Другими словами, Замена переменной    влечет за собой    и    при  x → 0. Тогда

Аналогичным образом показывается, что

Для вычисления предела отношения бесконечно малых функций    и    при  x → 0  воспользуемся тригонометрическим тождеством и заменим под знаком предела бесконечно малую функцию    эквивалентной величиной  : Это равенство означает, что

Вычислить предел Решение. Преобразуя знаменатель дроби под знаком предела, получим

Вычислить предел Решение. Используя тригонометрическое тождество получим

Вычислить Решение. Поскольку    и  , то

Вычислить Решение. Преобразуем выражение в числителе дроби: Затем преобразуем знаменатель этой же дроби: Таким образом,

Вычислить Решение. Подстановка  t = x – 1  влечет Поскольку  x → 1, то  t → 0. Тогда    и, следовательно,

 

---

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13