Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

 

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Второй замечательный предел

Теорема 2:

Выбирая    за новую переменную, получим другую форму теоремы 2:

Отметим, что при  x → 0  функция    представляет собой неопределенное выражение вида  . При этом показателем степени является обратная величина бесконечно малой добавки к единице в основании степени. 

      Если    – бесконечно малая функция при  x → a, то

В частности,

 

      Обсудим процедуру вычисления пределов вида

где   и    при  x → a.

1. Сначала представим функцию    в виде суммы единицы и бесконечно малой величины  :

   

2. Затем преобразуем показатель степени  :

   

3. Учитывая, что    при  x → a, получим следующий результат:

   

      Таким образом, проблема раскрытия неопределенности вида    сводится к более простой проблеме раскрытия неопределенности вида  . 
      Проиллюстрируем вышеизложенное простейшим примером:

      Еще один способ вычисления пределов вида

где    и    – бесконечно малые функции при  x → a, основывается на использовании тождества

При этом

 

---

 Примеры:

 

Типичные преобразования, используемые при раскрытии неопределенностей вида  :

Вычислить предел Решение. Заметим, что где множитель    представляет собой неопределенное выражение вида  , тогда как    при  x → ∞  и, следовательно,

Примеры подобного типа:

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13