Сравнение бесконечно малых

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Сравнение бесконечно малых

Пусть    и    – бесконечно малые функции при  . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении  x  точке  a  можно использовать предел отношения

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то    и    называются бесконечно малыми одного и того же порядка. 
      Особый интерес представляет частный случай, когда  λ = 1. Тогда говорят, что    и   являются эквивалентными бесконечно малыми при  и записывают это утверждение в виде

      Если  λ = 0, то говорят, что    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при   а функция    имеет меньший порядок малости. 

      Термин “порядок малости” допускает уточнение, если    и    представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что    является бесконечно малой  n-го порядка по сравнению с  . Например, функция     является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с    при  x → 0. 

      Если  λ = ∞, то бесконечно малые    и    как бы меняются своими ролями. В этом случае функция    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при  . 

      Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

1. Если    и    – эквивалентные бесконечно малых при   то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка. 
   Действительно,

   

   Для записи такого утверждения используется выражение

   

2. Бесконечно малые    и    являются эквивалентными, если    и    являются бесконечно малыми одного и того же порядка.
3. Если    – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с    при    то

 Примеры:

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13