Пусть и – бесконечно малые функции при . Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде

      Если λ = 0, то говорят, что    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при   а функция    имеет меньший порядок малости.

      Термин “порядок малости” допускает уточнение, если    и    представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что    является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция     является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с    при x → 0.

      Если λ = ∞, то бесконечно малые    и    как бы меняются своими ролями. В этом случае функция    является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с    при .

      Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

Если и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.
Действительно,
Для записи такого утверждения используется выражение
Бесконечно малые и являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то

Примеры:

Бесконечно малые и имеют один и тот же порядок малости при , поскольку предел их отношения равен конечному и отличному от нуля числу:
Очевидно, что функции и являются эквивалентными при .

Аналогично, функции
являются бесконечно малыми одного и того же порядка при x → ∞, поскольку

Бесконечно малые функции
являются эквивалентными при x → ∞, поскольку предел их отношения равен 1:

Предел отношения бесконечно малых функций и при x → 0 равен нулю:
Поэтому функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с функцией при x → 0.

Чтобы сравнить бесконечно малые функции    и    при x → 0, найдем предел их отношения:

Равенство этого предела нулю означает, что    имеет более высокий порядок малости по сравнению с    при x → 0. Однако

Следовательно, функция    является бесконечно малой 2-го порядка по сравнению с    при x → 0.

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Вход на сайт

Поиск

Календарь

Архив записей

2020 Ноябрь

Друзья сайта

Сайт преподавателя математики и информатики Иванской Светланы Алексеевны

Ставропольский край, г. Минеральные Воды