Раздел 9. Начала математического анализа
Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции
Предел функции
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13
Сравнение бесконечно малых
Пусть 
и 
– бесконечно малые функции при 
. Предел отношения этих величин может принимать любые значения – в зависимости от быстроты убывания одной величины относительно другой. Для сопоставления скоростей убывания этих величин при стремлении x точке a можно использовать предел отношения
Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде
Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при 
а функция имеет меньший порядок малости.
Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и 
представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция 
является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с 
при x → 0.
Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .
Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.
- Если и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.
Действительно,
Для записи такого утверждения используется выражение
- Бесконечно малые и
являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка. - Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то
Примеры:
|
и 
имеют один и тот же порядок малости при 
, поскольку предел их отношения равен конечному и отличному от нуля числу:
являются эквивалентными при
|
|
|
и 
при x → 0 равен нулю:
является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с функцией 
при x → 0.
|
и 
при x → 0, найдем предел их отношения:
имеет более высокий порядок малости по сравнению с 
при x → 0. Однако
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13