Свойства бесконечно малых функций

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. Произведение бесконечно малой функции    при   и функции  , ограниченной в некоторой  -окрестности точки  a, есть функция бесконечно малая. 

Доказательство. Функция    является ограниченной в некоторой окрестности точки  a  и, следовательно, существует такое число  B > 0, что

(4)

для всех  x, удовлетворяющих условию

(5)

      Поскольку функция    является бесконечно малой при  , то для любого произвольно малого числа  ε > 0 существует такое число  , что неравенство

(6)

выполняется для всех  x, удовлетворяющих условию

Выберем из чисел    и    наименьшее и обозначим его символом  δ. Тогда условие

(8)

является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6). 

      Таким образом, для любого произвольно малого числа  ε > 0  выполняется неравенство

для всех  x  из  δ-окрестности точки  a.

Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. 

Доказательство. Пусть  ε > 0  – произвольно малое число;    и    – бесконечно малые функции при  . Тогда существуют такие положительные числа    и  , что условия

(9)

и

(10)

влекут за собой соответствующие неравенства

и

      Если  , то условие    перекрывает оба условия (9) и (10) и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. 

      Действительно, объединяя элементы такой суммы в группы по два слагаемых и заменяя сумму двух бесконечно малых одной бесконечно малой, получим сумму меньшего числа членов. В конечном итоге сумма любого конечного числа бесконечно малых будет сведена к одной бесконечно малой.

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13