Предел функции

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Предел функции

Бесконечно малые функции

Свойства бесконечно малых функций

Предел функции

Свойства пределов функций

Сравнение бесконечно малых

Сравнение бесконечно больших

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Другие важные пределы: Теорема 3

Другие важные пределы: Теорема 4

Другие важные пределы: Теорема 5

Различные формы неопределенностей

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13

Предел функции

Число  A  называется пределом функции    при  , если для любого произвольно малого числа  ε > 0  существует такое число  δ(ε), что для всех  x, удовлетворяющих условию

(11)

выполняется неравенство

(12)

Для обозначения предела функции    при    используется символическое выражение

или запись вида

      Другими словами, функция    имеет своим пределом число  A  при  , если разность    представляет собой бесконечно малую функцию   Пусть, например,

и   Тогда из тождества

вытекает, что

      Отметим, что для существования предела функции при    не требуется, чтобы эта функция была определена в точке a. Например, функция    не определена в точке  x = 3, однако ее предел при    существует и равен числу 6. Кроме того, определяющее значение для существования предела функции при    имеет только поведение этой функции в достаточно малой окрестности точки  a. Вне этой окрестности функция может быть неограниченной. Примером может служить функция  f(x) = 1⁄x, предел которой при  x → 1  равен 1, хотя эта функция является неограниченной на промежутке, включающем в себя точку 0. 

      Функция    называется бесконечно большой при  , если она неограниченно возрастает по абсолютной величине при  . В таких случаях говорят, что    стремится к бесконечности при    и записывают это утверждение в виде

На формальном языке определение предела функции    при    выглядит следующим образом. Функция    имеет своим пределом бесконечность при  , если для любого сколь угодно большого числа  E > 0  существует такое число  δ(E), что для всех  x, удовлетворяющих условию

,

выполняется неравенство

      По сути дела такому определению можно дать стандартное толкование: если для всех  x  из  δ-окрестности точки  a  значения функции    попадают в окрестность бесконечно удаленной точки, то при    эта функции имеет своим пределом  ∞. 

      Аналогичным образом формулируется понятие предела функции    при  . Число  A  называется пределом функции    при  , если для любого произвольно малого числа  ε > 0  существует такое число  ∆(ε), что для всех  x, удовлетворяющих условию

(13)

выполняется неравенство

(14)

      Функция    имеет своим пределом бесконечность при  , если для любого сколь угодно большого числа  E > 0  существует такое число  ∆(E), что для всех  x, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Такой предел обозначается выражением вида

      Отметим, что следует соблюдать определенную осторожность при обращении с символом  ∞. Порой решающее значение на результат оказывает знак бесконечности. Например,

тогда как

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13