Ортогональные функции

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.2 Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры

Движение частицы с переменной скоростью

Понятие определенного интеграла

Классы интегрируемых функций

Свойства определенных интегралов

Формула Ньютона–Лейбница

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование по частям

Интегрирование четных и нечетных функций

Интегрирование периодических функций

Ортогональные функции

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Ортогональные функции

Функции  f(x)  и  g(x)  называются ортогональными на промежутке [a,b], если

(1)

где  – функция, комплексно сопряженная  f(x). 

      Если функции  f(x)  и  g(x)  являются вещественными, то условие их ортогональности на промежутке [a,b] имеет вид

(2)

      Ортогональные функции имеют важное значение в теории рядов Фурье, в теории линейных операторов и в других разделах математики и квантовой физики. 

Примеры ортогональных функций.

1. Пусть  где  i  – мнимая единица;  k  и  n  – целые числа. 
   
   Ортогональность этих функций на промежутке [0,2π] при  проверяется непосредственным интегрированием:

   

   Учитывая периодичность функций

   

   и

   

   заключаем, что рассматриваемые функции ортогональны на любом промежутке длиной 2π.




 
2.  
3. Функции  и  являются ортогональными на любом промежутке длиной 2π (при ). 
   Действительно,

    

4. 
   



5. Свойством ортогональности на промежутке длиной 2π обладают пары функций

   

   при , а также

   

   при любых целых значениях  k  и  n:

    

6. 
    

7. 
   
   

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11