Интегрирование по частям

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.2 Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры

Движение частицы с переменной скоростью

Понятие определенного интеграла

Классы интегрируемых функций

Свойства определенных интегралов

Формула Ньютона–Лейбница

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование по частям

Интегрирование четных и нечетных функций

Интегрирование периодических функций

Ортогональные функции

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям для определенных интегралов вытекает из соответствующей формулы для неопределенных интегралов и имеет вид

где  u(x)  и  – любые дифференцируемые функции.

      Формула (1) позволяет свести одну проблему интегрирования к другой. Так, если можно вычислить один из интегралов,  или , то можно вычислить и другой, выразив его через известный. В этом и заключается суть метода интегрирования по частям.

      Процедура интегрирования по частям состоит из двух этапов. 
      Во-первых, подынтегральную функцию  f(x)  нужно представить в виде произведения некоторых функций  u(x)  и :

      Во-вторых, чтобы найти  du(x)  и , нужно продифференцировать  u(x)  и проинтегрировать :

      Самым сложным этапом метода интегрирования по частям является выбор функций  u(x)  и , поскольку не существует универсального правила, применимого во всех случаях. Понимание приходит только с опытом. Поэтому на первых порах сделайте какой-нибудь выбор и посмотрите – будет ли полученный интеграл проще исходного. Если нет, то сделайте другой выбор, перебирая различные варианты до тех пор, пока не будет найден наилучший. Обычно достаточно решить несколько примеров, чтобы научиться сразу делать правильный выбор. В качестве ориентиров можно использовать следующие простые критерии. 

(A):    Интеграл от  должен вычисляться достаточно просто. 
(B):    Производная от  u(x)  должна быть достаточно простой функцией (желательно, более простой, чем сама функция  u(x)).

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11