Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.2 Определенные интегралы
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Интегрирование четных и нечетных функций
Теорема 1. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:
| f(–x) = f(x). | (1) |
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:
 |
(2) |
Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:
 |
(3) |
Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – st:
 |
(4) |
Утверждение доказано.
Теорема 2. Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:
| f(–x) = – f(x). | (5) |
Тогда интеграл от f(x) в симметричных пределах равен нулю:
 |
(6) |
Теорема доказывается аналогичным образом:
|
|
(7) |
| Пример 1. Пусть f(x) – четная функция, интегрируемая на промежутке [– a,a]. Тогда
|
| Пример 2. Пусть f(x) – нечетная функция, интегрируемая на промежутке [– a,a]. Тогда
|
