Интегрирование периодических функций

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.2 Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры

Движение частицы с переменной скоростью

Понятие определенного интеграла

Классы интегрируемых функций

Свойства определенных интегралов

Формула Ньютона–Лейбница

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование по частям

Интегрирование четных и нечетных функций

Интегрирование периодических функций

Ортогональные функции

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Интегрирование периодических функций

Теорема. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [0,T] периодическая функция с периодом  T:

Тогда интеграл

(2)

не зависит от λ. В частности,

(3)

Доказательство 1. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы трех интегралов:

(4)

Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:

Таким образом,

(6)

что и требовалось доказать. 

Доказательство 2. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы (4) и преобразуем последний интеграл в правой части, выполнив замену переменной  x = t + T. Очевидно, что этот интеграл лишь знаком отличается от первого интеграла в правой части равенства (4):

(7)

Пример 2.  Пусть  f(z)  - непрерывная на промежутке  [0, 1] функция. Показать, что Решение. Выполним подстановку :

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11