Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.2 Определенные интегралы
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b]. Разобьем этот интервал на n элементов 
.
Рис. 1. Разбиение интервала [a,b] на элементы.
Внутри каждого промежутка 
выберем произвольным образом точку 
, вычислим значения функции f(x) в этих точках и составим произведения и составим произведения 
. Сумма полученных произведений называется интегральной суммой:
 |
(1) |
Точки 
могут быть, в частности, выбраны в серединах интервалов 
или в их концевых точках. Если функция f(x) является положительно определенной, то произведение вида можно интерпретировать как площадь прямоугольника с основанием и высотой 
.
Рис. 2. Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n = 5.
С увеличением числа элементов разбиения интервала [a,b] интегральная сумма 
все более точно аппроксимирует площадь фигуры, ограниченной сверху кривой 
, снизу – осью 0x, а с боков – вертикальными отрезками x = a и x = b (то есть площадь криволинейной трапеции, показанной на рисунке 3).
Рис. 3. При разбиении промежутка [a,b] на большее число меньших частей увеличивается число прямоугольников, сумма площадей которых более точно аппроксимирует площадь криволинейной трапеции.
Далее выполним предельный переход 
, обеспечивая при этом, чтобы все 
. Если существует предел интегральной суммы (1), который не зависит от способа разбиения интервала [a,b] и выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] и обозначается символическим выражением
 |
(2) |
Заметим, что если 
, то все и . При стремлении к нулю каждое слагаемое суммы (2) стремится к нулю, но при этом число слагаемых стремится к бесконечности. Результатом этих двух взаимно противоположных стремлений является некое число, называемое определенным интегралом.
Величины a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а процедура вычисления интеграла (2) называется интегрированием.
Обозначение интеграла в виде 
введено Лейбницем, где f(x)dx напоминает о слагаемое суммы 
, а символ ∫ представляет собой стилизованную начальную букву латинского слова "Summa".
Если 
на промежутке [a,b], то интегральная сумма стремится к площади криволинейной трапеции и, таким образом, интеграл равен площади области, ограниченной графиком функции y = f(x) и осью 0x от x = a до x = b.
Пусть F(x) - первообразная функции f(x) :
Тогда 
при , где 
- изменение функции F(x) на промежутке . Следовательно,
 , |
(3) |
 |
(4) |
Формула (4) играет ключевую роль в интегральном исчислении и называется формулой Ньютона-Лейбница.