Понятие определенного интеграла

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.2 Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры

Движение частицы с переменной скоростью

Классы интегрируемых функций

Свойства определенных интегралов

Формула Ньютона–Лейбница

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование по частям

Интегрирование четных и нечетных функций

Интегрирование периодических функций

Ортогональные функции

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

понятие определенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b]. Разобьем этот интервал на n элементов .

Рис. 1. Разбиение интервала [a,b] на элементы.

Внутри каждого промежутка выберем произвольным образом точку , вычислим значения функции f(x) в этих точках и составим произведения и составим произведения . Сумма полученных произведений называется интегральной суммой:

(1)

Точки могут быть, в частности, выбраны в серединах интервалов или в их концевых точках. Если функция f(x) является положительно определенной, то произведение вида можно интерпретировать как площадь прямоугольника с основанием и высотой .

Рис. 2. Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n = 5.

С увеличением числа элементов разбиения интервала [a,b] интегральная сумма все более точно аппроксимирует площадь фигуры, ограниченной сверху кривой , снизу – осью 0x, а с боков – вертикальными отрезками x = a и x = b (то есть площадь криволинейной трапеции, показанной на рисунке 3).

Рис. 3. При разбиении промежутка [a,b] на большее число меньших частей увеличивается число прямоугольников, сумма площадей которых более точно аппроксимирует площадь криволинейной трапеции.

Далее выполним предельный переход , обеспечивая при этом, чтобы все . Если существует предел интегральной суммы (1), который не зависит от способа разбиения интервала [a,b] и выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] и обозначается символическим выражением

(2)

      Заметим, что если , то все  и . При стремлении  к нулю каждое слагаемое суммы (2) стремится к нулю, но при этом число слагаемых стремится к бесконечности. Результатом этих двух взаимно противоположных стремлений является некое число, называемое определенным интегралом.

      Величины a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а процедура вычисления интеграла (2) называется интегрированием.

      Обозначение интеграла в виде  введено Лейбницем, где f(x)dx напоминает о слагаемое суммы , а символ ∫ представляет собой стилизованную начальную букву латинского слова "Summa".

      Если  на промежутке [a,b], то интегральная сумма  стремится к площади криволинейной трапеции и, таким образом, интеграл  равен площади области, ограниченной графиком функции y = f(x) и осью 0x от x = a до x = b.

      Пусть F(x) - первообразная функции f(x) :