Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.2 Определенные интегралы
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b]. Разобьем этот интервал на n элементов .
Рис. 1. Разбиение интервала [a,b] на элементы.
Внутри каждого промежутка выберем произвольным образом точку
, вычислим значения функции f(x) в этих точках и составим произведения и составим произведения
. Сумма полученных произведений называется интегральной суммой:
![]() |
(1) |
Точки могут быть, в частности, выбраны в серединах интервалов
или в их концевых точках. Если функция f(x) является положительно определенной, то произведение вида
можно интерпретировать как площадь прямоугольника с основанием
и высотой
.
Рис. 2. Геометрическая интерпретация интегральной суммы при n = 5.
С увеличением числа элементов разбиения интервала [a,b] интегральная сумма все более точно аппроксимирует площадь фигуры, ограниченной сверху кривой
, снизу – осью 0x, а с боков – вертикальными отрезками x = a и x = b (то есть площадь криволинейной трапеции, показанной на рисунке 3).
Рис. 3. При разбиении промежутка [a,b] на большее число меньших частей увеличивается число прямоугольников, сумма площадей которых более точно аппроксимирует площадь криволинейной трапеции.
Далее выполним предельный переход , обеспечивая при этом, чтобы все
. Если существует предел интегральной суммы (1), который не зависит от способа разбиения интервала [a,b] и выбора точек
, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] и обозначается символическим выражением
![]() |
(2) |
Заметим, что если , то все
и
. При стремлении
к нулю каждое слагаемое суммы (2) стремится к нулю, но при этом число слагаемых стремится к бесконечности. Результатом этих двух взаимно противоположных стремлений является некое число, называемое определенным интегралом.
Величины a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а процедура вычисления интеграла (2) называется интегрированием.
Обозначение интеграла в виде введено Лейбницем, где f(x)dx напоминает о слагаемое суммы
, а символ ∫ представляет собой стилизованную начальную букву латинского слова "Summa".
Если на промежутке [a,b], то интегральная сумма
стремится к площади криволинейной трапеции и, таким образом, интеграл
равен площади области, ограниченной графиком функции y = f(x) и осью 0x от x = a до x = b.
Пусть F(x) - первообразная функции f(x) :
Тогда при
, где
- изменение функции F(x) на промежутке
. Следовательно,
![]() |
(3) |
![]() |
(4) |
Формула (4) играет ключевую роль в интегральном исчислении и называется формулой Ньютона-Лейбница.