Интеграл от единицы по промежутку [a,b] равен длине этого промежутка:
Интеграл не зависит от символа, используемого для обозначения переменной интегрирования:
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
Интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов:
При перестановке местами пределов интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный:
Если нижний и верхний пределы интегрирования совпадают между собой, то интеграл равен нулю:
Если функция f(x) интегрируема на каждом из промежутков [a,b], [a,c] и [c,b], то
Это свойство вполне очевидно, если (см. рисунок 1).
Рис. 1. Свойство 6 (случай ).

Однако оно остается справедливым и в том случае, когда – при условии, что существуют интегралы и :

Рис. 2. Свойство 6 (случай ).

Если функция f(x) является положительно определенной и интегрируемой на промежутке [a,b], то
Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b] и во всех точках этого промежутка. Тогда
Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то
Пусть функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b] и удовлетворяет неравенствам во всех точках этого промежутка. Тогда
Выражение называется средним значением функции f(x) на промежутке [a,b]. Поэтому свойство 8 называют теоремой о среднем.
Теорема о среднем для непрерывной функции. Пусть функция f(x) непрерывна и ограничена на промежутке [a,b]. Тогда на этом промежутке найдется такая "средняя" точка , что
Рис. 3. Площадь под кривой y = f(x) на интервале [a,b] равна площади прямоугольника с основанием (b-a) и высотой .
Для просмотра анимации в других цветах подведите курсор указателя мыши в область рисунка, расположенного справа.
Обобщенная теорема о среднем. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b]. Если при этом функция f(x) является непрерывной, то на этом промежутке найдется такая "средняя" точка , что