Формула Ньютона–Лейбница

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.2 Определенные интегралы

Площадь плоской фигуры

Движение частицы с переменной скоростью

Понятие определенного интеграла

Классы интегрируемых функций

Свойства определенных интегралов

Формула Ньютона–Лейбница

Интегрирование заменой переменной

Интегрирование по частям

Интегрирование четных и нечетных функций

Интегрирование периодических функций

Ортогональные функции

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если функция  f(x)  непрерывна на промежутке [a,b], то

(1)

где  F(x)  – первообразная функции  f(x):

(2)

Формула (1) называется формулой Ньютона–Лейбница. 

Доказательство. Сначала покажем, что функция

(3)

является первообразной функции  f(x). 
      Согласно определению производной,

(4)

      С учетом свойства 6,

(5)

      Тогда

(6)

      Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде

(7)

где  и  при . 
      Следовательно,

(8)

      Возвратимся к уравнению (3). Полагая  x = a, находим значение постоянной  C:

(9)

      Полагая в этом же уравнении  x = b, получаем:

      Таким образом, для вычисления определенного интеграла от  f(x)  по промежутку [a,b] достаточно найти первообразную  F(x)  функции  f(x), вычислить ее в точках  a  и  b  и вычесть  F(a)  из  F(b).

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11