Интегрирование по частям

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид

(1)

где    и    - произвольные дифференцируемые функции. 

      Формула (1) позволяет свести одну проблему интегрирования к другой. Вывод этой формулы достаточно прост:

      Процедура интегрирования по частям состоит из двух этапов. Во-первых, подынтегральную функцию  f(x) нужно представить в виде произведения некоторых функций  u(x)  и  :

      Например, можно положить  , что означает  ,  . 

      Во-вторых, чтобы найти    и  , нужно продифференцировать  u(x)  и проинтегрировать   :

(Заметим, что в выражении для    постоянную интегрирования можно положить равной нулю.) 

      Самым сложным этапом метода интегрирования по частям является выбор функций  u(x)  и  , поскольку не существует универсального правила, применимого во всех случаях. Понимание приходит только с опытом. Поэтому на первой стадии ознакомления с методом нужно какой-нибудь выбор и посмотреть – будет ли полученный интеграл проще исходного. Если нет, то сделайте другой выбор, перебирая различные варианты до тех пор, пока не будет найден наилучший. Обычно достаточно решить несколько примеров, чтобы научиться сразу делать правильный выбор. В качестве ориентиров можно использовать следующие простые критерии. 

      (A):   Интеграл от    должен вычисляться достаточно просто. 
      (B):   Производная от  u(x)  должна быть достаточно простой функцией - желательно, более простой, чем сама функция  u(x). 

      В качестве примера применения метода интегрирования по частям обсудим подробно процедуру вычисление интеграла

.

      Возможны следующие варианты представления подынтегральной функции  в виде произведения  :

      Варианты (1) и (2) не удовлетворяют критерию (A), поскольку интегралы от    и от    слишком сложны. 
      Варианты (3) и (4) противоречат критерию (B) и только пятый вариант приемлем во всех отношениях. 

      Действительно, во-первых, степенная функция    легко интегрируется:

      Во-вторых, производной от  ln x  является рациональная функция  которая, безусловно, значительно проще логарифмической функции. 

      Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Пример 1.  Вычислить интеграл . Решение. Преобразуем интеграл, выполнив подстановку  : Учитывая, что и выполнив обратную замену  , получим

Пример 2. Вычислить   Решение. Пусть  . Тогда ,

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11