Свойства первообразной

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Свойства первообразной

Пусть функция  определена на некотором промежутке  D. Функция  называется первообразной функции , если

(1)

для всех . 

      Если к первообразной  функции  прибавить любую постоянную  C, то полученная функция    также является первообразной, поскольку

(2)

      Справедливо и более сильное утверждение:

      Любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину  C.

      Действительно, пусть  и  для всех . 
     

     Тогда  и, следовательно, разность  есть величина постоянная:

(3)

Примеры:

Пример 1. Функция  является первообразной для .

Пример 2. Обе функции,  и , являются первообразными для функции    на промежутке  . Следовательно, их разность равна некоторой постоянной: Выражение в левой части этого равенства обращается в    при  x = 0. Таким образом,

Пример 3. Аналогичные рассуждения относительно первообразных функции    приводят к формуле

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11