Обобщение таблицы интегралов

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Обобщение таблицы интегралов

 Согласно одному из свойств неопределенных интегралов, равенство

(1)

остается неизменным при замене переменной интегрирования некоторой дифференцируемой функцией :

(2)

      Поэтому каждый табличный интеграл можно рассматривать с более общих позиций, подставляя вместо переменной интегрирования различные функции . Такой подход позволяет расширить таблицу интегралов и оказывается конструктивным при составлении задач.

      Разъясним эти соображения на примере интеграла от степенной функции,

(3)

      Выполнив постановку , получаем новую формулу,

(4)

      устанавливающую более общее правило интегрирования. 

      В качестве функции  может выступать любая функция, имеющая на соответствующем промежутке непрерывную производную. 

      Пусть, в частности,  n = 3  и  . Тогда

(5)

      Аналогично, при  n = 2  и    имеем

(6)

      Подобным образом можно интерпретировать другие интегралы, заменяя переменную интегрирования той или иной функцией.

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11