Замена переменной

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Замена переменной

Если произвольным образом задать функцию, то в подавляющем большинстве случаев интеграл от такой функции будет неберущимся - в том смысле, что не существует какой-либо конечной комбинации элементарных функций, производная от которой равнялась бы этой функции. 
      Некоторым таким неберущимся интегралам присваивают персональные имена и называют их специальными функциями. Из соображений удобства подстановки можно подразделить на два типа: 1) ;  2)  . 
      В обоих случаях речь идет о замене переменной, а различие заключается только в технике реализации этой замены.

1. Подстановка    применяется для преобразования подынтегрального выражения, например, в интегралах вида

   .

   (1)

   Учитывая равенство  , получаем более простой интеграл

   (2)

   - по крайней мере, судя по его внешнему виду. 
2. Подстановка  x = u(t)  используется для преобразования интеграла    к другому виду:

.

(3)

Возможно, что интеграл в правой части этого равенства окажется более простым, чем исходный. Иначе следует подумать о других подстановках или же применить другой метод интегрирования.

      Умение применять "хорошие" подстановки совершенствуется по мере развития навыков вычисления интегралов. Однако во многих случаях разумная замена переменной бывает просто очевидной. В качестве примера проанализируем интеграл

(4)

под знаком которого содержится обратная тригонометрическая функция и одновременно – иррациональное выражение. В подобных случаях, как правило, возможны всего два варианта: либо интеграл вычисляется элементарно, либо является неберущимся. Среди табличных интегралов нет ни одного, содержащего арксинус (к тому же еще и в знаменателе). Уже этого обстоятельства достаточно для того, чтобы испытать подстановку , которая влечет    и, следовательно,

      Подстановка была вынужденной, но оказалась удачной: интеграл приведен к табличному виду. Все оказалось внутренне согласованным – нужный радикал в нужном месте в комбинации с нужной функцией. Достаточно, например, заменить единицу под знаком корня на любое другое число или же изменить степень корня, чтобы превратить интеграл в не берущийся. Так, любой из нижеприведенных интегралов является неберущимся:

      Обсудим другой прием, позволяющий непосредственным образом выйти на разумную подстановку. Обратимся вновь к интегралу (4) и представим подынтегральное выражение в виде

      Теперь переменная  x  входит только под знак арксинуса и последующие действмя представляются вполне очевидными. В таких случаях говорят, что мы "подвели множитель  под знак дифференциала". 

      Другие примеры:

Пример 1.  Для вычисления интеграла  выполним замену переменной:  t = ln x. Тогда

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11