Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.1 Неопределенные интегралы
Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Занимательные упражнения
Рассмотрим табличный интеграл
 |
(1) |
Заменив переменную x в обеих частях этого равенства произвольной дифференцируемой функцией u(t), получим тот же интеграл в обобщенном виде:
 |
(2) |
Пусть, например, 
Тогда
 |
(3) |
Аналогично,
 |
(4) | ||
 |
(5) |
Подобные преобразования применимы и к другим интегралам. Пусть, например, исходным интегралом является
 |
(6) |
Тогда
 |
(7) | ||
 |
(8) | ||
 |
(9) |
Взяв за основу простые интегралы (с известными ответами) и преобразовав их в “сложные”, мы окольным путем вычислили эти “сложные” интегралы.
Можно интерпретировать наши действия и как составление задач на интегрирование – тем более, что в реальности это примерно так и происходит. Нам осталось только воспользоваться какой-нибудь фразой типа “Вычислить методом замены переменной следующие интегралы”. Сами же интегралы у нас уже имеются: 
и т.д.
Такой подход к составлению задач обладает целым рядом преимуществ:
- Ответ известен заранее.
- Алгоритм решения проблемы известен заранее.
- Простота искомого результата гарантирована.
Сходные "занимательные упражнения" могут использоваться при подготовке сборников задач и упражнений. Поэтому представляется разумным начать изучение методов интегрирования именно с составления задач, процедура решения которых представляет собой цепочку обратных преобразований. Иначе говоря, исходные данные и результат меняются ролями. Кроме того, умение составлять задачи формирует навыки их решения.