Занимательные упражнения

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Занимательные упражнения

Рассмотрим табличный интеграл

(1)

      Заменив переменную x в обеих частях этого равенства произвольной дифференцируемой функцией u(t), получим тот же интеграл в обобщенном виде:

(2)

      Пусть, например,  Тогда

(3)

      Аналогично,

		(4)
		(5)

      Подобные преобразования применимы и к другим интегралам. Пусть, например, исходным интегралом является

(6)

      Тогда

		(7)
		(8)
		(9)

      Взяв за основу простые интегралы (с известными ответами) и преобразовав их в “сложные”, мы окольным путем вычислили эти “сложные” интегралы. 
      Можно интерпретировать наши действия и как составление задач на интегрирование – тем более, что в реальности это примерно так и происходит. Нам осталось только воспользоваться какой-нибудь фразой типа “Вычислить методом замены переменной следующие интегралы”. Сами же интегралы у нас уже имеются:  и т.д. 

      Такой подход к составлению задач обладает целым рядом преимуществ:

• Ответ известен заранее.
• Алгоритм решения проблемы известен заранее.
• Простота искомого результата гарантирована.

Сходные "занимательные упражнения" могут использоваться при подготовке сборников задач и упражнений. Поэтому представляется разумным начать изучение методов интегрирования именно с составления задач, процедура решения которых представляет собой цепочку обратных преобразований. Иначе говоря, исходные данные и результат меняются ролями. Кроме того, умение составлять задачи формирует навыки их решения.

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11