Задачи, приводящие к понятию первообразной

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Пусть при движении частицы вдоль оси 0x зависимость x-координаты от времени t описывается уравнением

,

(1)

согласно которому в начальный момент времени  t = 0  частица находилась в точке с координатой  

      Скорость движения частицы равна производной от координаты по времени и, следовательно,

(2)

      Полагая  t = 0, находим начальную скорость движения частицы:

(3)

      Дифференцируя по времени скорость движения частицы, получаем ее ускорение:

(4)

      Таким образом, уравнение (1) позволяет найти все характеристики движения частицы. 

      Рассмотрим теперь обратную задачу, когда по заданной зависимости скорости движения частицы от времени нужно определить положение частицы в произвольный момент времени. Заметим, что уравнение (2) не содержит информации о положении частицы в начальный момент времени. Такие сведения оказались утерянными в результате дифференцирования уравнения движения (1). Следовательно, для однозначного решения обратной задачи, а именно – восстановления функции  по известной ее производной  – необходимо дополнительно задать начальное условие . В противном случае общее решение такой задачи должно содержать неопределенную постоянную величину:

(5)

      Аналогично, для нахождения закона изменения скорости движения частицы по известному ускорению требуется задание начального условия (3). При отсутствии такого условия скорость движения определяется только с точностью до произвольной константы:

(6)

      Операция нахождения функции  по заданной производной  этой функции называется интегрированием функции . 
      Функция общего вида , полученная в результате интегрирования, называется неопределенным интегралом, а любое частное решение  такого рода задачи – первообразной исходной функции. 
      В этих терминах задача нахождения функции  по известной ее производной  является стандартной проблемой интегрирования функции . При этом решение вида (5) представляет собой неопределенный интеграл от функции , тогда как решение вида (1) есть первообразная функции .

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11