Замена переменной: примеры подстановок

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.1 Неопределенные интегралы

Задачи, приводящие к понятию первообразной

Свойства первообразной

Неопределенный интеграл

Свойства неопределенных интегралов

Таблица простейших интегралов

Обобщение таблицы интегралов

Методы интегрирования

Замена переменной

Замена переменной: примеры подстановок

Занимательные упражнения

Интегрирование по частям

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11

Замена переменной: примеры подстановок

1. Подстановка  x = at  преобразует интеграл

   

   к табличному виду:

   (1)



2. Аналогично,

   (2)



3. Если подынтегральное выражение содержит функцию  arctg x  и включает в себя множитель , то следует подумать о замене . Например,

   		(3)
   		(4)
   		(5)

   Проверим справедливость последнего результата:

   



4. Интегралы

   

   и

   

   приводится к табличному виду с помощью подстановки :

   		(6)
   		(7)



5. Нижеприведенные интегралы внешне не очень похожи друг на друга. Однако каждый из них легко приводится к одному и тому же табличному виду

   

   с помощью подходящей замены переменной.

   		(8)
   		(9)
   		(10)
   		(11)
   		(12)



6. Выполнив подстановку  sin x = t  и учитывая, что , получаем

   (13)



7. Другой пример применения подстановки  sin x = t :

   (14)

8. Подстановка   :

   (15)

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11