Содержание
В линейной алгебре используются различные матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. Mathcad имеет четыре встроенные функции для расчета разных норм квадратных матриц:
- norm1 (A) — норма в пространстве L1;
- norm2 (A) — норма в пространстве L2;
- norme(A) — евклидова норма (euclidean norm);
- normi (A) — max-норма, или норма (infinity norm);
- А — квадратная матрица.
Примеры расчета различных норм двух матриц А и в с различающимися на два порядка элементам! приведены в листинге 23.29. В последней строке этого листинга пояснен) определение евклидовой нормы, которое похоже на определение длины вектора. В большинстве задач неважно, какую норму использовать. Как видно, в обычных случаях разные нормы дают примерно одинаковые значения, хорошо отражая порядок величины матричных элементов. Определение остальных норм заинтересованный метатель отыщет в справочниках по линейной алгебре или в справочной системе Mathcad (раздел Mathcad Resources).
Листинг 23.29. Нормы матриц
Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition питэег). Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений Ах=b, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений. Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм:
- cond1(A) — число обусловленности в норме L1;
- cond2 (A) — число обусловленности в норме L2;
- conde(A) — число обусловленности в евклидовой норме;
- condi (A) — число обусловленности в норме;
- А — квадратная матрица.
Расчет чисел обусловленности для двух матриц А и В показан в листинге 23.30. Обратите взимание, что первая из матриц является хорошо обусловленной, а вторая - плохо обусловленной (две ее строки определяют очень близкие системы уравнений, с точностью до множителя з). Вторая строка листинга дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц. В других нормах определение точно такое же. Как нетрудно понять, матрицы А и в из предыдущего листинга 23.29 обладают одинаковыми числами обусловленности, т, к. В=100А, и, следовательно, обе матрицы определяют одну и ту же систему уравнений.
Листинг 23.30. Число обусловленности матриц
Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для вычисления ранга в Mathcad предназначена функция rank:
- rank (А) — ранг матрицы;
- А — матрица.
Листинг 23.31. Ранг матрицы
Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида
аi1X1+аi2х2+. . .+ainхn=bi (1)
В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:
Ах = b, (2)
где А — матрица коэффициентов СЛАУ размерности NXN, х — вектор неизвестных, b— вектор правых частей уравнений.
К системам линейных уравнений сводится множество, если не сказать большинство, задач вычислительной математики. СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, или, по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица А не очень велика. С большой матрицей проблем также не возникнет, если она не очень плохо обусловлена. В Mathcad СЛАУ можно решить как в более наглядной форме (1), так и в более удобной для записи форме (2).
Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find, а для второго — встроенную функцию:
- isoive. isoive isoive ( А, b) — решение системы линейных уравнений;
- А — матрица коэффициентов системы;
- b — вектор правых частей.
Применение функции isoive показано в листинге 23.32. При этом матрица А может быть определена любым из способов, необязательно явно, как во всех примерах этого раздела. Встроенную функцию isoive допускается применять и при символьном решении СЛАУ (листинг 23.33). Соответствующая матрице А и вектору b система уравнений выписана явно в листинге 23.34.
Листинг 9.32. Решение СЛАУ
Листинг 9.33. Символьное решение СЛАУ (продолжение листинга 23.32)
В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, его можно решить точно так же, как систему нелинейных уравнений. Пример численного решения СЛАУ из предыдущих листингов показан в листинге 23.34. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестным требуется присвоить начальные значения (это сделано в первой строке листинга 23.34). Они могут быть произвольными, т. к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно. При решении СЛАУ с помощью функции Find Mathcad автоматически выбирает линейный численный алгоритм, в чем можно убедиться, вызывая на имени Find контекстное меню.
Листинг 23.34. Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока
Лекции: Введение | Л-1: Краткая история компьютерной графики. Основные понятия о машинной графике и основные задачи компьютерной графики. Классификация направлений и сферы применения компьютерной графики. Задачи курса | Л-2: Программное обеспечение для создания, просмотра и обработки графической информации | Л-3: Текстовый редактор. Работа с текстом (простой и фигурный, вдоль кривой, эффекты для текста) | Л-4: Презентация и анимация графических и текстовых объектов. Средства организации чертежа (система координат, единицы измерения, слои, графические примитивы) | Л-5: Основные понятия о растровом и векторном изображении. Прикладное назначение программ для графического отображения физических процессов. Виды программного обеспечения для графики математического моделирования | Л-6: Виды графических программ векторной графики: Microsoft Visio, Corеl Draw, АutoCAD | Л-7: Окна программ векторной графики. Особенности импорта и экспорта изображений и макетов | Л-8: Панель инструментов программы. Библиотека элементов векторной графики | Л-9: Системы цветов в компьютерной графике: HSB, HSL, RGB, CMYK | Л-10: Методика рисования простых фигур и векторный способ формирования графических объектов | Л-11: Линии как объект векторной графики и их свойства | Л-12: Виды графических программ растровой графики: Pаint, Adobe Photoshop. Понятие слоя, создание изображения со слоями; копирование, перемещение, наложение, удаление слоев | Л-13: Двумерные (2D) и трехмерные (3D) геометрические преобразования в компьютерной графике | Л-14: Масштабирование изображений. Панели инструментов программ Pаint, Adobe Photoshop и др. | Л-15: Растровый способ формирования графических образов | Л-16: Вставка и редактирование рисунков. Геометрическое моделирование, преобразования растровых и векторных изображений | Л-17: Выделение и трансформация областей. Работа с текстом | Л-18: Тональная и цветовая коррекция и фильтры. Маски, каналы и ретушь | Л-19: Смешивание слоев, эффекты и стили слоев | Л-20: Виды систем графического моделирования: Mathсad, MatLab. Интерфейс пользователя систем Mathсad и MatLab | Л-21: Работа со встроенными функциями, массивами, векторами и матрицами | Л-22: Элементы графической визуализации. Графическая визуализация вычислений — построение графиков функций | Л-23: Основы работы с векторами и матрицами. Палитры математических знаков и документы Mathсad | |
|
Лекция 21: Работа со встроенными функциями, массивами, векторами и матрицами |
Лекция 22: Элементы графической визуализации. Графическая визуализация вычислений — построение графиков функций |