Л-23 Основы работы с векторами и матрицами. Палитры математических знаков и документы Mathсad (3)

Символьные операции с матрицами

Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Несколько примеров приведены в листинге 23.17.

Листинг 23.17. Примеры символьных операций над векторами и матрицами

Смело используйте символьный процессор в качестве мощного математического справочника. Например, когда Вы хотите вспомнить какое-либо определение из области линейной алгебры (так, правила перемножения и обращения матриц показаны в первых строках листинга 23.17).

Матричная функция

Функции создания матриц

Листинг 23.18. Создание матрицы

Для создания матриц имеются еще две специфические функции, применяемые, в основном, для быстрого и эффектного представления каких-либо зависимостей в виде трехмерных графиков (типа поверхности или пространственной кривой). Все их аргументы, кроме первого (функции), необязательны. Рассмотрим первую из функций.

СгеаtеSрасе(F(или f1, f2, f3) , t0, t1, tgrid, fmap) — создание вложенного массива, представляющего х-, у- и z-координаты параметрической пространственной кривой, заданной функцией р: 

• F(t) — векторная функция из трех элементов, заданная параметрически относительно единственного аргумента t; f1(t) ,f2(t), f3(t) — скалярные функции;
• t0 — нижний предел t (по умолчанию -5); t1 — верхний предел t (по умолчанию 5);
• tgrid — число точек сетки по переменной t (по умолчанию 2о);
• fmap — векторная функция от трех аргументов, задающая преобразование координат.

Рис. 23.3. Использование функции CreateSpace с разным набором параметров

Пример использования функции CreateSpace показан на рис. 23.3. Заметьте, для построения графика спирали не потребовалось никакого дополнительного кода, кроме определения параметрической зависимости в вектор-функции F!

Функция создания матрицы для графика трехмерной поверхности устроена совершенно аналогично, за тем исключением, что для определения поверхности требуется не одна, а две переменных. Пример ее использования иллюстрирует рис. 23.4.

Рис. 23.4. Использование функции CreateMesh с разным набором параметров

CreateMesh(F(или g, или f1, f2, f3) , s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - создание вложенного массива, представляющего х-, у- и z-координаты параметрической поверхности, заданной функцией F: 

• F(s,t) — векторная функция из трех элементов, заданная параметрически относительно двух аргументов s и t; g (s, t) — скалярная функция;
• f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) — скалярные функции;
• s0, t0 — нижние пределы аргументов s, t (по умолчанию -5);
• s1, t1 — верхние пределы аргументов s, t (по умолчанию 5);
• sgrid, tgrid — число точек сетки по переменным s и t (по умолчанию 20);
• fmap — векторная функция из трех элементов от трех аргументов, задающая преобразование координат.

Примеры вложенных массивов, которые создаются функциями createMesh и createspace, приведены в листинге 23.19. Каждая матрица из числа трех вложенных матриц, образующих массив, определяет х-, у- и z-координаты точек поверхности или кривой, соответственно.

Листинг 23.19. Результат действия функций CreateMeeh и CreateSpace (рис. 23.3 - 23.4)

Создание матриц специального вида В Mathcad легко создать матрицы определенного вида с помощью одной из встроенных функций. Примеры использования этих функций приведены в листинге 23.20.

• identity (N) — единичная матрица размера NXN;
• diag(v) — диагональная матрица, на диагонали которой находятся элементы вектора v;
• geninv(A) — создание матрицы, обратной (слева) матрице А;
• rref (A) — преобразование матрицы или вектора А в ступенчатый вид;
• N — целое число;
• v — вектор; А —матрица из действительных чисел.

Размер NXM матрицы А для функции geninv должен быть таким, чтобы N>M.

Листинг 23.20. Создание матриц специального вида