Модуль вектора (vector magnitude) обозначается тем же символом, что и определитель матрицы. По определению, модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов (листинг 23.8).
Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно uv=|u||v|cosQ, где Q — угол между векторами. Если векторы ортогональны, их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения (листинг 23.9). Для обозначения скалярного произведения пользователь также может выбирать представление оператора умножения. Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х, который является общеупотребительным символом векторного произведения.
Листинг 23.9. Скалярное произведение векторов
С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого умножения см. в листинге 23.10.
Листинг 23.10 Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор
Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом Q между ними равно вектору с модулем |u||v|sinQ, направленным перпендикулярно плоскости векторов и и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш +<8>. Пример приведен в листинге 23.11.
Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этого существует вспомогательный оператор (листинг 23.12, первая строка), задаваемый кнопкой Vector Sum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш +<4>. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными. На том же листинге 23.12 (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr: tr (A) — след квадратной матрицы А.
Листинг 23.12. Суммирование элементов вектора и диагонали матрицы
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю (листинг 23.13). Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).
К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень n. Для этого п должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 23.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу <А>. После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени n.
Таблица 23.1. Результаты возведения матрицы в степень
n
Mn
0
единичная матрица размерности матрицы M
1
сама матрица M
-1
M-1 - матрица, обратная м
2,3,...
MM, (MM)M, ...
-2, -3, ...
M-1 M-1, (M-1 M-1)M-1, ...
Некоторые примеры возведения матриц в степень приведены в листинге 23.14.
Листинг 23.14. Примеры возведения квадратной матрицы в целую степень