Л-13 Двумерные (2D) и трехмерные (3D) геометрические преобразования в компьютерной графике (6)

Содержание

• Компьютерная геометрия
  • Двумерные преобразования
    • Преобразование единичного квадрата
    • Отображение
    • Однородные координаты
    • Двумерное вращение вокруг произвольной оси
  • Трехмерные преобразования и проекции
    • Проекции
    • Математическое описание плоских геометрических проекций
    • Изображение трехмерных объектов

Математическое описание плоских геометрических проекций

Каждую из проекций можно описать матрицей 4x4. Этот способ оказывается удобным, поскольку появляется возможность объединить матрицу проецирования с матрицей преобразования.

Центральная (перспективная) проекция получается путем перспективного преобразования и проецирования на некоторую двухмерную плоскость «наблюдения». Перспективная проекция на плоскость Z=0 обеспечивается преобразованием

Рис. 13.14. Вычисление одноточечной перспективы

или

Центр проекции находится в точке с координатами (0,0,-k) (рис.13.14), плоскость проецирования Z=0. Соотношения между x, y и x*, y* остаются теми же самыми. Рассматривая подобные треугольники, получим, что

аналогично

Координаты x*, y* являются преобразованными координатами. В перспективном проектировании преобразованное пространство не является евклидовым, так как ортогональность осей не сохраняется. При k=∞ получим аксонометрическое преобразование. Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, сопровождаемых переносом. Последний столбец в обобщенной матрице 4x4 должен быть равен

В этом случае H=1. Перспективному преобразованию может предшествовать произвольная последовательность аффинных преобразований. Таким образом, чтобы получить перспективные изображения из произвольной точки наблюдения вначале используют аффинные преобразования, позволяющие сформировать систему координат с осью Z вдоль желаемой линии визирования. Затем применяется перспективное преобразование. Аналогично перспективное преобразование, когда картинная плоскость перпендикулярна оси Z и совпадает с плоскостью Z=1/r. Центр проекции находится в центре координат:

Двухточечная (угловая) перспектива. Для получения двухточечной перспективы в общей матрице преобразования устанавливают коэффициенты p и q:

Такое преобразование приводит к двум точкам схода. Одна расположена на оси X в точке (1/p, 0, 0, 1), другая на оси Y в точке (0, 1/q, 0, 1). Рассмотрим это преобразование на получение проекции единичного куба (рис. 13.15.).

Рис. 13.15. Единичный куб для получения двухточечной проекции

В результате получаем проекцию вида, представленного на рис. 13.16.

Рис. 13.16. Двухточечная проекция единичного куба

Для того чтобы создать диметрическую проекцию, необходимо выполнить следующее условие:

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ).

Одним способом выбора sinθ является сокращение оси Z в фиксированное число раз. При этом единичный вектор на оси Z, равный [0 0 1 1], преобразовывается к виду

[X Y Z H] = [sinφ  -cosφ×sinθ  cosφ×cosθ  1]

или

x* = sinφ; y*= - cosφ sinθ.

Таким образом, для диметрической проекции получаем

φ = 20,705°: θ = 22,208°.

Для образования изометрической проекции нужно в одинаковое число раз сократить все три оси. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

sin²φ=sin²θ/(1- sin²θ) и sin²φ=(1-2sin²θ)/(1- sin²θ).

Таким образом, φ = 35,26439°; θ = 45°.

Рассмотрим теперь косоугольную проекцию (рис. 13.17.), матрица может быть записана исходя из значений α и l.

Проекцией точки P(0,0,1) является точка P′;(l cosa, l sinα, 0), принадлежащая плоскости xy. Направление проецирования совпадает с отрезком РР′, проходящим через две эти точки. Это направление есть Р′-Р = (l cosα, l sinα, -1). Направление проецирования составляет угол β с плоскостью xy. Теперь рассмотрим проекцию точки x, y, z и определим ее косоугольную проекцию (x_p y_p) на плоскости xy:

x_p=x+z(l cosα);

y_p=y+z(l sinα).

Таким образом, матрица 4x4, которая выполняет эти действия и, следовательно, описывает косоугольную проекцию, имеет вид

Рис. 13.17. Вычисление косоугольных проекций

Применение матрицы М_кос приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта: плоскости с постоянной координатой z = z₁ переносятся в направлении x на z₁ l cosα и в направлении y на z₁ l sinα и затем проецируется на плоскость z=0. Сдвиг сохраняет параллельность прямых, а также углы и расстояния в плоскостях, параллельных оси z. Для проекции Кавалье l=1, поэтому угол β=45°. Для проекции Кабине l=½, а β=arctg(2)=63,4°. В случае ортографической проекции l = 0 и β=90°, поэтому матрица ортографического проецирования является частным случаем косоугольной проекции.