Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.3 Геометрические приложения определенного интеграла
 Площадь плоской области |
| Длина дуги кривой, заданной в явном виде |
| Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде |
| Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах |
| Объемы тел |
Объемы тел
Рассмотрим задачу о нахождении объема тела, если известна зависимость площади его поперечного сечения S(x) плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс.
Разобьем тело на тонкие слои. Каждый слой представляет собой цилиндр, объем которого равен dV = S(x)dx, где dx – толщина слоя (высота цилиндра).
Рис. 1. Разбиение тела на тонкие слои параллельными друг другу плоскостями.
Объем всего тела, заключенного в границах от x = a до x = b, равен сумме объемов образующих его элементов:
 |
(1) |
Если тело образовано вращением дуги кривой y = f(x) 
вокруг оси 0x, то площадь S(x) поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс, представляет собой круг радиуса y = f(x). Тогда 
и, следовательно,
 |
(2) |
| Пример 1. Найти объем сферы радиуса R. Решение.
|
***
Пример 2. Найти объем параболоида вращения  .
Решение. Такой параболоид может быть получен вращением дуги параболы  вокруг оси 0x. Следовательно,
|
