Длина дуги кривой, заданной в явном виде

Раздел 10. Интеграл и его применение

Тема 10.3 Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской области

Длина дуги кривой, заданной в явном виде

Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Объемы тел

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5 

Длина дуги кривой, заданной в явном виде

Пусть кривая лежит в плоскости  x0y  и описывается уравнением  y = f(x). 
      Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами  a  и  b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимировать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

 
Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

      Длину  dL  бесконечно малого участка можно выразить через  dx  и  dy  с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где  y '  – производная функции  y = f(x)  по переменной  x. 

      Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

.

(2)

Пример 1.  Найти длину дуги кривой  y = ln x, расположенной между точками с абсциссами    и  .

Решение. Очевидно, что

Тогда

.

Страницы:  1  | 2 | 3 | 4 | 5