Раздел 10. Интеграл и его применение
Тема 10.3 Геометрические приложения определенного интеграла
 Площадь плоской области |
| Длина дуги кривой, заданной в явном виде |
| Длина дуги кривой, заданной в параметрическом виде |
| Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах |
| Объемы тел |
Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах
Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением r = r(φ) в полярных координатах. Представим выражение 
в виде
 . |
(1) |
Выразим декартовые координаты x и y через полярные координаты r и φ:
|
|
(2) |
, 
.Продифференцируем эти выражения по переменной φ:
|
|
(3) |
, 
.Нетрудно показать, что
 |
(4) |
Следовательно,
 |
(5) |
Пример 1. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = φ.
Решение. Концам первого витка соответствуют значения 
и 
полярного угла φ. Тогда
Интегрируем по частям, положив 
и 
, что влечет
и
Таким образом,
