Вычисление тригонометрических функций

Условимся, что если не оговорено противное, то под угловой мерой всегда понимается радианная мера. 
      Первый замечательный предел устанавливает эквивалентность между синусом бесконечно малого аргумента и самим аргументом:

Это утверждение можно интерпретировать как приближенное равенство

справедливое для значений x в некоторой окрестности нуля. Качественное представление об области применимости этой формулы можно получить, обратившись к рисункам 2 и 3 (в разделе "Первый замечательный предел"). Для более детального анализа введем в рассмотрение относительную погрешность вычислений, определяемую формулой

      Результаты расчета относительной погрешности вычислений синуса по формуле sin⁡x≈x показаны на рисунке 8.

Рис. 8. Ошибка вычислений синуса по формуле  достигает 4% лишь при  x ≈ 0.5  радиан, что составляет примерно 29°.

      Для приближенных вычислений значений косинуса можно использовать равенство

В этом случае относительная погрешность вычислений определяется формулой

Рис. 9. Графики функции   (верхняя кривая) и параболы    (нижняя кривая). 

 
 

Рис. 10. Графики функций    и    в более широком диапазоне изменений аргумента. 

 

Ошибка вычислений косинуса по формуле    достигает 8% при    радиан, что примерно равно 57°. При    радиан относительная погрешность вычислений составляет менее 0.7%.

      Формула аппроксимации тангенса значением его аргумента имеет значительно меньшую область применимости. Результаты расчетов представлены на рисунке 12.

Рис. 12. Прямая  y = x  является касательной к графику функции    в точке  x = 0. Очевидно, что    в окрестности нуля.

      Относительная погрешность вычислений тангенса по формуле    представлена на рисунке 13, где

Рис. 13. Ошибка вычислений тангенса по формуле    достигает 14% уже при  x ≈ 0.6  радиан.

 
 

Рис. 14. Сопоставление графиков функций    и    в окрестности нуля.

      Формула    имеет более широкий диапазон применимости, чем формула  . Однако ситуация изменяется на противоположную при переходе к обратным функциям. Соответствующие иллюстрации представлены на рисунке 15.

Рис. 15. Графики функций  ,  y = x  и     в окрестности нуля.

Страницы: 1 | 2