предел числовой последовательности свойства пределов числовых последовательностей раскрытие неопределенностей второй замечательный предел число e вывод формулы членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии примеры вычисления пределов числовых последовательностей

Предел последовательности

Понятие предела последовательности возникает на интуитивном уровне уже на самом раннем этапе изучения математики. В качестве примера обратимся к задаче о нахождении площади круга радиуса r с помощью геометрических построений.

      Пусть в окружность вписан треугольник или квадрат. Понятно, что площадь такой фигуры имеет мало общего с площадью круга. Если же увеличивать и увеличивать число сторон вписанного правильного многоугольника, то его контуры постепенно станут приобретать очертания окружности.

      Обозначим площадь вписанного многоугольника символом , где индекс n указывает число сторон многоугольника. Выражаясь формально, можно сказать, что  представляет собой общий член монотонно возрастающей ограниченной последовательности площадей вписанных многоугольников. При неограниченном возрастании n элементы этой последовательности все точнее и точнее описывают площадь круга. Несколько забегая вперед, можно сказать, что последовательность  имеет своим пределом площадь круга.

      Рассмотрим теперь последовательность , n-ый элемент которой равен площади описанного многоугольника, имеющего n сторон. В этом случае мы имеем дело с монотонно убывающей ограниченной последовательностью площадей описанных многоугольников, которая при неограниченном возрастании n все точнее и точнее описывает площадь круга.

Рис. 10. Площадь круга есть предельное значение площадей вписанных и описанных многоугольников при увеличении числа сторон.

Число A называется пределом последовательности , если разность является бесконечно малой величиной. Другими словами, число A является пределом последовательности , если переменную можно представить в виде где – некоторая бесконечно малая величина. Символически такое утверждение записывают в виде

Говорят также, что переменная стремится к числу A:

Если , то любая ε-окрестность точки A содержит все точки , начиная с некоторого номера. Вне этой окрестности может находиться разве что конечное число точек .

Рис. 11. Последовательность имеет своим пределом число A.

Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся. В противном случае последовательность называется расходящейся.

Рис. 12. Иллюстрация сходимости последовательности к числу A.

Примерами расходящихся последовательностей являются последовательности с общими членами и , первая из которых стремится к ∞ с ростом n, а вторая – не имеет предела при .

Примеры пределов числовых последовательностей:

Найти предел последовательности, заданной общим членом .
Решение. Представим в виде

Учитывая, что последовательность является бесконечно малой, получим

Последовательность с общим членом является расходящейся, поскольку она не имеет предела при

Преобразуем переменную , представив ее в виде

Очевидно, что при и, следовательно,
Этот результат вполне очевиден, поскольку число 2 является пренебрежимо малой величиной по сравнению с n при больших значениях n.