Меню сайта

Категории раздела

Наш опрос

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Точки разрыва

Раздел 9. Начала математического анализа

Тема 9.1 Последовательности Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности. Предел функции

Непрерывность функций

Односторонние пределы

Точки разрыва

Свойства непрерывных функций

Страницы: 1 | 2 | 3

таблица эквивалентных бесконечно малых

Точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке a, если она определена в этой точке и

(1)

Условие непрерывности (1) можно также записать в виде

(2)

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Если же непрерывность функции нарушается в некоторой точке, то такая точка называется точкой разрыва. Точки разрыва можно классифицировать по величине модуля разности между односторонними пределами,

который называют скачком функции при переходе через точку a. Если этот скачок равен нулю, но функция не определена в точке a, то такая точка называется точкой устранимого разрыва. Например, функция не определена в нуле, однако ее предел в этой точке существует и равен 1. Поэтому для устранения разрыва достаточно доопределить функцию при x = 0, исходя из соображений непрерывности:

В случае произвольной функции , для которой точка a является точкой устранимого разрыва, нужно расширить область определения функции, включив в нее точку a и полагая

Если скачок функции в точке a имеет конечное значение, то эту точку называют точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке a равен бесконечности, если какой-либо односторонний предел равен бесконечности. В этом случае говорят о точке разрыва второго рода.

Примеры:

Функция
определена на всей числовой оси за исключением точки x = 2, которая является точкой разрыва этой функции.

Найдем односторонние пределы в этой точке.
Если , то
Если , то
Функция претерпевает скачок на конечную величину и, следовательно, x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Рис. График функции в окрестности точки x = 2.

Непрерывность функции
нарушается в точке x = 5.
Эта точка является точкой разрыва второго рода, поскольку при x → 5.

Рассмотрим кусочно-заданную функцию
Поскольку функции    определены на всей числовой оси, то непрерывность функции    может нарушаться только в точках “сшивания” x = 0 и x = 1.
В точке x = 0 функция    непрерывна, поскольку односторонние пределы совпадают между собой и со значением функции в нуле:

Найдем односторонние пределы в точке x = 1:

Конечное значение скачка функции    означает, что x = 1 является точкой разрыва первого рода.

Рис. График кусочно-заданной функции .

Страницы: 1 | 2 | 3

Вход на сайт

Поиск

Календарь

Архив записей

2020 Ноябрь

Друзья сайта

Сайт преподавателя математики и информатики Иванской Светланы Алексеевны

Ставропольский край, г. Минеральные Воды