Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 2 Гостей: 2 Пользователей: 0 |
ПланиметрияВводный разделПланиметрия (Геометрия на плоскости)Оглавление:
Основные теоретические сведенияТреугольникПри решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:
Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник: Тогда, сумма углов треугольника: Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё: Полупериметр треугольника находится по следующей формуле: Формула Герона для площади треугольника: Площадь треугольника через радиус описанной окружности: Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике): Свойства медиан:
Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам): Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы: Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне): Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:
Формула высоты: Еще одно полезное свойство высот треугольника: Теорема косинусов: Теорема синусов: Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров.Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: Радиус окружности, описанной около правильного треугольника: Площадь правильного треугольника: Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты): Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник: Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу): Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника: Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:
ТрапецияТрапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции: Площадь трапеции: Некоторые свойства трапеций:
ПараллелограммПараллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё: Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: Некоторые свойства параллелограмма:
КвадратКвадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны: Площадь квадрата через длину его диагонали: Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.
Ромб и прямоугольникРомб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами): Свойства ромба:
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны: Свойства прямоугольника:
Произвольные фигурыПлощадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними: Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников): Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки. Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник: Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
МногоугольникиВыпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна: Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон): Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен: Центральный угол правильного n-угольника равен: Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:
ОкружностьСвойство касательных: Свойство хорды: Теорема о пропорциональных отрезках хорд: Теорема о касательной и секущей: Теорема о двух секущих: Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу): Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой): Свойство центральных углов и хорд: Свойство центральных углов и секущих: Длина окружности: Длина дуги окружности: Площадь круга: Площадь сектора: Площадь кольца: Площадь кругового сегмента: |
Поиск
Архив записей
|
||