Показательные уравнения, системы и неравенства

Раздел 2 Корни, степени и логарифмы

Тема 2.2 Показательная и логарифмическая функции

Показательные уравнения, системы и неравенства

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Область допустимых значений в показательных функциях
  • Рекомендации к решению показательных уравнений и систем
  • Рекомендации к решению показательных неравенств

Основные теоретические сведения

Область допустимых значений в показательных функциях

К оглавлению...

При решении задач данной темы нужно очень хорошо помнить все свойства степеней и математических корней (в частности квадратного корня), изученные ранее. Остановимся дополнительно на некоторых свойствах степенных и показательных функций, которые относятся к их области допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим функцию вида:

Такая функция, строго говоря, не является ни показательной ни степенной. Тем не менее на её примере можно хорошо продемонстрировать различные возможные варианты для ОДЗ. А таких варианта есть три:

1. Если f(x) > 0, то в этом случае g(x) может принимать любые значения;
2. Возможен случай когда f(x) = 0 при условии, что: g(x) > 0 – обратите внимание и запомните: ноль нельзя возводить в отрицательную степень (это равносильно делению на ноль), а ноль в нулевой степени не существует. Таким образом ноль может быть только в положительной степени, при этом ноль в любой положительной степени даёт ноль;
3. Ну и наконец f(x) может принимать отрицательные значения при условии, что g(x) принимает целые значения. Таким образом, отрицательные числа можно возводить только в "целые" степени.

Остановимся подробнее на первом из этих свойств. Оно гласит, что положительные числа и функции можно возводить в любую степень. Существует и обратное требование: число или функция, которая возводится в рациональную степень должна быть неотрицательной. Таким образом, запись:

Означает, что выражение:

Но, опять таки, в случае равенства функции нолю всегда нужно отдельно убедиться, что степень была положительной, т.к. ноль можно возводить только в положительную степень. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать показательные уравнения и неравенства только с положительными основаниями степеней.

Однако отметим важную особенность применения такого свойства. Дело в том, что если используется запись с обозначением математического корня, то подкоренное выражение не всегда должно быть неотрицательным. Нам известно, что под корнем нечетной степени может стоять и отрицательное выражение. Таким образом, в записи вида:

Подкоренное выражение может принимать любые значения. Но вот в казалось бы равнозначной записи следующего вида:

Подкоренное выражение опять должно быть неотрицательным:

Отметим также еще одно важное свойство появляющееся при применении обозначения математического корня. Итак, если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Рекомендации к решению показательных уравнений и систем

К оглавлению...

Рассмотрим показательные уравнения у которых основания всех степеней, это положительные числа не равные единице. В этом случае показатели степеней могут принимать все возможные значения, и при этом такие уравнения имеют смысл. В простейших случаях такие показательные уравнения алгебраическими преобразованиями можно свести к двум видам уравнений. Первый из них, это случай когда левую и правую часть уравнения можно свести к одинаковому основанию. В этом случае преобразованное уравнение будет выглядеть так:

А его решение ищется переходом к следующему рациональному уравнению:

Второй стандартный вид показательных уравнений это когда обе стороны уравнения можно привести к одинаковому показателю степени, но разным основаниям:

Единственным возможным решением такого уравнения является: 

При решении показательных уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных. Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных.

Отдельно остановимся на алгоритме решения очень распространённых однородных показательных уравнений. Однородные уравнения в общем случае имеют вид:

Здесь А, В и С – числа, не равные нулю, а f(x) и g(x) – некоторые показательные функции. Однородные уравнения решают так: разделим всё уравнение на g²(x) и получим:

Производим замену переменных:

И решаем квадратное уравнение:

Получив корни этого уравнения не забываем выполнить обратную замену, а также проверить итоговые корни на соответствие ОДЗ, если таковое имело место быть.

Иногда при решении показательных уравнений приходится также использовать графический метод. Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение.

При решении систем показательных уравнений зачастую нужно стараться сначала в каждом из уравнений системы перейти от показательного уравнения к обычному рациональному. Для этого приводят каждое из показательных уравнений к одинаковому показателю степени или к одинаковому основанию и переходят к рациональным уравнениям как показано выше. Затем нужно решать систему рациональных уравнений одним из изученных методов (обычно подстановкой). Если по такому алгоритму действовать не получается, то нужно пытаться применить сразу к системе показательных уравнений метод деления, замены переменных или ещё какой-нибудь метод.

Рекомендации к решению показательных неравенств

К оглавлению...

Простейшие показательные неравенства с положительными основаниями не равными единице решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала их нужно постараться привести к одинаковому основанию степени, т.е. получить неравенство вида:

После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание степени больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание степени меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный (это значит поменять "меньше" на "больше" или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода:

Далее необходимо решить стандартное рациональное неравенство с учетом всех тонкостей этой процедуры. Главное помнить, что знак неравенства меняется также и при делении всего неравенства на отрицательное число, либо на выражение принимающее на всей числовой оси отрицательные значения. В этом контексте, также полезно обратить внимание на очевидный факт: положительное число в любой степени остаётся положительным. А так как мы рассматриваем показательные неравенства только с положительными основаниями, то все степени в таких неравенствах всегда положительны.

Более сложные показательные неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Они также могут быть однородными, в этом случае в показательном неравенстве будет применяться стандартная для однородных уравнений замена, только с её помощью нужно будет решать неравенство.

Если показательное неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов, который состоит в следующем:

• Определите ОДЗ;
• Преобразуйте неравенство так, чтобы в правой части был ноль (в левой части, если это возможно, приведите к общему знаменателю, разложите на множители и т.д.);
• Найдите все корни числителя и знаменателя и нанесите их на числовую ось, причём, если неравенство нестрогое, закрасьте корни числителя, ну а корни знаменателя в любом случае оставьте выколотыми точками;
• Найдите знак всего выражения на каждом из интервалов, подставляя в преобразованное неравенство число из данного интервала. При этом уже больше нельзя никаким образом чередовать знаки переходя через точки на оси. Определять знак выражения на каждом интервале нужно именно подстановкой значения из интервала в это выражение, и так для каждого интервала. Больше никак нельзя (в этом то и состоит, по большому счету, отличие обобщенного метода интервалов от обычного);
• Найдите пересечение ОДЗ и удовлетворяющих неравенству промежутков, при этом не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.