Понятие о вещественных числах, рациональные и иррациональные числа

Оглавление:

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Иррациональность числа

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

      Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

      Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

      При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

      Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

      Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

      При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

      Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

      Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа 

      Проведем доказательство иррациональности числа  методом «от противного». С этой целью предположим, что число  является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

      Используя данное равенство, получаем:

      Отсюда вытекает, что число   m² является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² = 4m² + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

      Отсюда вытекает, что число   n² является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

      Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

      Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число  является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел
с недостатком и с избытком

      Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

      Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

      Последовательностью десятичных приближений числа  с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа  отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

      Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

      Само число  располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

      Для числа  возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

      Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.