Меню сайта

Категории раздела

Новости колледжа [0]

Праздники [0]

Наш опрос

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Векторы

Оглавление:

Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов

Скалярное произведение векторов

Примеры решения задач

Понятие вектора

Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),

Понятие вектора

Рис.1

то мы получим вектор.

Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.

Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение (рис.2) или (рис.3).


Рис.2	Рис.3

Иногда для вектора используют обозначения (рис.4) или (рис.5).


Рис.4	Рис.5

Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

Рассмотрим произвольный вектор и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz (рис.6).

Координаты вектора

Рис.6

Если в системе координат Oxyz точки A и B имеют координаты

A = (a₁; a₂; a₃) и B = (b₁; b₂; b₃) ,

(1)

то координатами вектора называют набор чисел

(2)

Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».

Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

Длиной (модулем) произвольного вектора называют длину отрезка AB

Длина вектора , координаты которого имеют вид

вычисляется по формуле

(3)

Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».

Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

(4)

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

Равенство векторов

Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства

a₁ = tb₁, a₂ = tb₂, a₃ = tb₃.

Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Координаты вектора

Рис.7

Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Координаты вектора

Рис.8

Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

В результате умножения любого вектора на любое действительное число k получается такой вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

При k > 0 вектор сонаправлен с вектором ;
При k < 0 вектор противоположно направлен с вектором ;
Длина вектора равна длине вектора , умноженной на число |k|.

Если вектор имеет координаты

то вектор имеет координаты

Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов и нужно совместить начало вектора с концом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора будет конец вектора (рис.9).

Сложение и вычитание векторов

Рис.9

При этом, если

то

Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов и нужно воспользоваться формулой

Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Сложение и вычитание векторов

Рис.10

При этом, если

то

Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат вектора вычесть координаты вектора ».

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов и , которое обозначается называют число, равное произведению длин векторов и , умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Сложение и вычитание векторов

Рис.11

Таким образом,

(5)

Из формулы (5) вытекает соотношение

которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».

Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

(6)

то их скалярное произведение выражается формулой:

(7)

Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами и

Скалярное произведение векторов

(8)

Примеры решения задач

Пример 1. При каких значениях параметра p векторы и перпендикулярны?

Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ: 4.

Пример 2. При каких значениях параметров α и β векторы (α; – 2; 5) и (1; β; – 4) коллинеарны?

Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

Векторы решение задач