Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
ВекторыОглавление:
Понятие вектораРассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1), Рис.1 то мы получим вектор. Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора. Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение (рис.2) или (рис.3).
Иногда для вектора используют обозначения (рис.4) или (рис.5).
Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор. Координаты вектораРассмотрим произвольный вектор и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz (рис.6). Рис.6 Если в системе координат Oxyz точки A и B имеют координаты
то координатами вектора называют набор чисел
Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора». Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты. Длина вектораДлиной (модулем) произвольного вектора называют длину отрезка AB Длина вектора , координаты которого имеют вид вычисляется по формуле
Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат». Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид
и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид . Равенство векторовВекторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора и являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства a1 = tb1, a2 = tb2, a3 = tb3. Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7. Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче). Рис.7 Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8. Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала). Рис.8 Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину. Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут. Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат. Умножение вектора на число
В результате умножения любого вектора на любое действительное число k получается такой вектор , который удовлетворяет следующим условиям:
Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число. Сложение и вычитание векторовДля того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов и нужно совместить начало вектора с концом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора будет конец вектора (рис.9). Рис.9 При этом, если и то Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются». Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов и нужно воспользоваться формулой Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10. Рис.10 При этом, если и то Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат вектора вычесть координаты вектора ». Скалярное произведение векторовОпределение. Скалярным произведением векторов и , которое обозначается называют число, равное произведению длин векторов и , умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11). Рис.11 Таким образом,
Из формулы (5) вытекает соотношение которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя». Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты
то их скалярное произведение выражается формулой:
Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами и
Примеры решения задачПример 1. При каких значениях параметра p векторы и перпендикулярны? Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим Ответ: 4. Пример 2. При каких значениях параметров α и β векторы (α; – 2; 5) и (1; β; – 4) коллинеарны? Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства: Ответ: . Пример 3. Длины векторов и равны 2 и 1 , соответственно, а угол между ними равен 60° . Найти длину вектора . Решение. Рассмотрим рисунок 12. Рис.12 Воспользовавшись теоремой косинусов, получим Ответ: . Пример 4. Длины векторов и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен 60°. Найти длину вектора . Решение. Рассмотрим рисунок 13. Рис.13 Воспользовавшись теоремой косинусов, получим Ответ: . Пример 5. Найти угол между векторами (3; 6; 2) и (4; 7; 4) . Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим Ответ: .
|
Поиск
Архив записей
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||