Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
Бином НьютонаОглавление:
Формула бинома НьютонаВ таблице 1 приведены формулы для натуральных степеней бинома (x + y)n в случаях, когда n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Таблица 1. – Степень суммы
Утверждение. Для любого натурального числа n и любых чисел x и y справедлива формула бинома Ньютона:
где
– числа сочетаний из n элементов по k элементов. В формуле (1) слагаемые называют членами разложения бинома Ньютона, а числа сочетаний – коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами. Если в формуле (1) заменить y на – y , то мы получим формулу для n - ой степени разности: Связь бинома Ньютона с треугольником ПаскаляНапомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:
Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:
Свойства биномиальных коэффициентовДля биномиальных коэффициентов справедливы равенства:
к доказательству которых мы сейчас и переходим. Докажем сначала равенство 1. Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2 , между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2): что и требовалось. Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1) x = 1, y = 1. Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять x = 1, y = –1, то получится равенство 3. Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1) y = 1
Воспользовавшись очевидным равенством перепишем формулу (3) в другом виде
Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:
Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при xn в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство: что и требовалось. |
Поиск
Архив записей
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||