Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
Комбинаторика: размещения и сочетанияОглавление:
РазмещенияРассмотрим следующую задачу. Задача. 9 карточек пронумерованы числами 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Из этих карточек четыре наугад взятых карточки выкладываем в ряд. Сколько при этом можно получить различных четырехзначных чисел? Решение.Сначала слева направо пронумеруем места в ряду, куда выкладываем карточки: первое место, второе, третье, четвертое. На первое место можно положить одну из 9 карточек. Для этого есть 9 способов. В каждом из этих 9 способов на второе место можно положить одну из оставшихся 8 карточек. Таким образом, существует способа, чтобы положить карточки на первое и второе места. В каждом из этих 72 способов на третье место можно положить одну из оставшихся 7 карточек. Следовательно, существует способа, чтобы положить карточки на первое, второе и третье места. В каждом из этих 504 способов на четвертое место можно положить одну из оставшихся 6 карточек. Отсюда вытекает, что существует различных способа, чтобы выложить в ряд 4 карточки из набора, состоящего из 9 пронумерованных карточек. Таким образом, при выкладывании карточек можно получить 3024 различных четырехзначных числа. Ответ: 3024. При решении задачи мы провели подсчет числа способов раскладывания карточек, который является частным случаем общего метода подсчета числа размещений и заключается в следующем. Определение 1. Рассмотрим множество, содержащее n элементов, и все его упорядоченные подмножества, содержащие k элементов. Каждое из этих подмножеств называют размещением из n элементов по k элементов. Если обозначить символом число размещений из n элементов по k элементов, то будет справедлива формула:
В соответствии с определением факториала, формулу (1) можно также записать в виде: В задаче множеством из n элементов является исходный набор из 9 пронумерованных карточек, а упорядоченным подмножеством из k элементов – 4 карточки, выложенные в ряд. Таким образом, при решении задачи мы на частном примере подсчитали, чему равно число размещений из 9 элементов по 4 элемента, т.е. число В соответствии с формулой (1), что и было получено в задаче. Замечание 1. Введенные в данном разделе размещения также называют размещениями без повторений. Замечание 2. Из формул для числа перестановок и числа размещений вытекает формула смысл которой заключается в следующем. Утверждение. Размещение из n элементов по n элементов является перестановкой из n элементов. СочетанияОпределение 2. Рассмотрим множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называют сочетанием из n элементов по k элементов. Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом Замечание 3. Важно отметить, что, в отличие от определения размещений, рассмотренные в определении сочетаний подмножества, содержащие k элементов, не являются упорядоченными. Поэтому, если в каждом подмножестве, содержащем k элементов (из определения 2), совершить всевозможные перестановки, количество которых равно k ! , то мы получим все размещения. Таким образом, справедлива формула: Следовательно, откуда вытекает формула
Теперь рассмотрим несколько примеров подсчета числа сочетаний, которые непосредственно вытекают из формулы (2): В заключение приведем часто используемое равенство, также непосредственно вытекающее из формулы (2):
|
Поиск
Архив записей
|
||||||||||||||||||||||