Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
Комбинаторика - основные понятия и формулы. Перестановки, размещения, сочетанияОсновные понятия и формулыКомбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Правило умножения (основная формула комбинаторики) Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно: Пример 1 Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать? Решение Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. . Искомое количество способов: Правило сложения Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами. Пример 2 На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги. Решение Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая - способами. По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги. Размещения и перестановкиРазмещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов. Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по . Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно: Пример 3 Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин. Решение Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:
Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно Пример 4 Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом? Решение Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:
Размещения с повторениями, когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат - размещением с повторениями из элементов по . Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно Пример 5 Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта? Решение Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:
СочетанияСочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по . Число сочетаний из элементов по равно: Пример 6 В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика? Решение Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов: Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:
Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по . Число сочетаний с повторениями из элементов по : Пример 7 На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток? Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6: Разбиение множества на группыПусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую - элементов, в -ю группу - элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы. Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую - элементов, в k-ю группу - элементов, равно: Пример 8 Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Решение Здесь Число разбиений на 3 подгруппы: |
Поиск
Архив записей
|
||