Геометрическая вероятность

Как было показано в разделе "Классическая вероятность. Вероятность случайного события", в случайных экспериментах с конечным числом равновозможных элементарных исходов применяется классическое определение вероятности.

      Для введения вероятности событий в случайных экспериментах, возможные результаты которых (элементарные исходы) также являются равновозможными и целиком заполняют отрезок прямой линии, фигуру на плоскости или область в пространстве, применяется геометрическое определение вероятности. В таких экспериментах число элементарных исходов не является конечным, и поэтому классическое определение вероятности к ним применять нельзя.

      Проиллюстрируем введение геометрического определения вероятности на примерах.

      Пример 1. На отрезок числовой прямой   [2, 16]   наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попала на отрезок   [5, 9]   (рис.1).

Рис.1

      Решение. Множеством элементарных исходов случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек отрезка   [2, 16],   то есть

Ω = [2, 16] .

      Попадание точки на отрезок   [5, 9]   является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой   A :

A = [5, 9] .

     При геометрическом определении вероятность события   A   вычисляется по формуле

(1)

      Поскольку длина отрезка   [5, 9]   равна   4,   а длина отрезка   [2, 16]   равна   14,   то в соответствии с формулой (1) находим

      Ответ: 2/7.

      Пример 2. Диагонали   KM   и   LN   квадрата   KLMN   пересекают вписанную в квадрат окружность в точках   E   и   F ,   точка   O   – центр окружности (рис. 2).

Рис.2

      В квадрат   KLMN   наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в сектор   EOF,   отмеченный на рисунке 2 розовым цветом.

      Решение. Множеством элементарных исходов   Ω   случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек квадрата   KLMN .

      Попадание точки в круговой сектор   EOF   является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой   A .

      При геометрическом определении вероятность события   A   вычисляется по формуле

(2)

      Если обозначить буквой   R   радиус вписанного в квадрат   KLMN   круга, то площадь сектора   EOF   будет равна

,

сторона квадрата   KLMN   будет равна   2R ,   а площадь квадрата   KLMN   будет равна   4R² .

      Поскольку в этом случае площадь фигуры   A   равна

,

а площадь фигуры   Ω   равна   4R² ,   то в соответствии с формулой (2) находим

      Ответ:   

      Пример 3. В конус с вершиной   S   и центром основания   O   наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в усеченный конус, полученный при сечении конуса плоскостью, проходящей через середину   O'   высоты конуса и параллельной основанию конуса (рис. 3).

Рис.3

      Решение. Множеством элементарных исходов  Ω   случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек конуса  с вершиной   S   и центром основания   O .

      Попадание точки в усеченный конус является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой   A .

     При геометрическом определении вероятность события   A   вычисляется по формуле

(3)

      Обозначим буквой   R   радиус основания конуса с вершиной   S   и центром основания   O ,   а буквой   H   – высоту этого конуса. Тогда радиус основания и высота конуса с вершиной   S   и центром основания   O'   будут равны

   и   

соответственно.

      Объем конуса с вершиной   S   и центром основания   O   равен

,

конуса с вершиной   S   и центром основания   O₁   равен

.

      Поэтому объем усеченного конуса равен

.

      Поскольку в этом случае объем тела   A   равен

,

а объем тела   Ω   равен

,

то, воспользовавшись формулой (3), получаем

      Ответ:   0,875 .

      Замечание. Применение формул (1), (2) и (3) для определения вероятности событий в случайных экспериментах, элементарные исходы которых целиком заполняют отрезок прямой линии, фигуру на плоскости или область в пространстве, соответственно, и составляет суть введения геометрического определения вероятности.