Меню сайта
Категории раздела
Наш опрос
Статистика
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
Формула полной вероятности. Формула БайесаТеоретический материал , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем
Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности
Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная. . . . .
Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Вероятность гипотез. Формулы Байеса Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем
Отсюда
Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле
Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
По условию задачи имеем:
Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы. Практический материал. Решение:
Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство
Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:
Тогда по формуле полной вероятности вероятность события А будет равна:
6. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. 7. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: — белых шаров нет, — один белый шар, — два белых шара. . . . .
8. В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике. 9. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9. Решение. ={первый приемник работает, второй — нет}; ={второй работает, первый — нет}; ={оба приемника работают}; ={оба приемника не работают}. Событие А может произойти только с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая следующие события: ={первый приемник работает}, ={второй приемник работает}. Тогда:
Контроль:
Условные вероятности соответственно равны: Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероятность
10. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11? 11. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй — 6, из третьей группы — 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? 12. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев. Решение.
По формуле полной вероятности
Событие телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока:
По условию
По формуле Байеса
Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы H2 увеличилась с P (H2)=0,4 до максимальной , а гипотезы H3 — уменьшилась от максимальной P (H3)=0,5 до ; если ранее (до наступления события А) наиболее вероятной была гипотеза H3, то теперь, в свете новой информации (наступления события А), наиболее вероятна гипотеза H2 -поступление данного телевизора от 2-го поставщика. 13. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль; Решение. По условию
Вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль, по формуле полной вероятности:
2. а). Вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, стандартное, по формуле Байеса:
2. б). Пусть событие — изделие дважды прошло упрощенный контроль. Тогда по теореме умножения вероятностей:
По формуле Байеса
Так как
очень мала, то гипотезу о том, что изделие, дважды прошедшее упрощенный контроль, нестандартное, следует отбросить как практически невозможное событие. 14. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: Решение. — оба стрелка не попали в мишень; — оба стрелка попали в мишень; — 1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет; — 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал; — в мишени одна пробоина (одно попадание). Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события для этих гипотез:
Теперь по формуле Байеса
т.е. вероятность того, что попал в цель 1-й стрелок при наличии одной пробоины, в 6 шесть раз выше, чем для второго стрелка. 15. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы. Решение. ={откажут все три элемента}; ={откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й — не откажет}; ={откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й — не откажет}; ={откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й — не откажет}; ={откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й и 3-й}; ={откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й и 3-й}; ={откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й и 2-й}; ={все элементы, будут работать}. Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:
Контроль:
Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах H4, H5, H6, H7 и достоверно при гипотезах H0, H1, H2, H3, найдем условные вероятности событий :
Найдем вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло по формуле Байеса. Для этого предварительно найдем вероятность события А по формуле:
Отсюда
16. Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса, которые включают 20%, 50% и 30% водителей соответственно. Вероятности того, что в течение года водитель попадет в аварию, равны 0,01, 0,03 и 0,1 соответственно для каждого класса. Наугад выбранный водитель два года подряд из пяти лет срока страховки попал в аварию. Какова вероятность того, что он относится: Решение. — водитель соответственно первого, второго и третьего класса; — водитель два года подряд из пяти лет срока страховки попадал в аварию. По условию Найдем условные вероятности события (учитываем, что из пяти лет водитель три года не попадал в аварию, два года — попадал, причем попадал два года подряд, что дает четыре варианта (по годам 1-2, 2-3, 3-4, 4-5)):
По формуле Байеса:
т.е. после наступления события A |
Поиск
Архив записей
|
||